Question

如圖，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，A₁，A₂，B₁是橢圓C的頂點(diǎn)，若橢圓C的離心率e=

3

2

，且過(guò)點(diǎn)(

2

，

2

2

)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）作直線l，使得l∥A₂B₁，且與橢圓C相交于P、Q兩點(diǎn)（異于橢圓C的頂點(diǎn)），設(shè)直線A₁P和直線B₁Q的傾斜角分別是α，β，求證：α+β=π．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、離心率及其abc的關(guān)系即可得出；
（Ⅱ）把直線l的方程與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、平行線之間的斜率關(guān)系、直線斜率的計(jì)算公式、兩角和的正切公式即可得出．

解答：解：（Ⅰ）由已知得：

c a = 3 2 2 a2 + 1 2b2 =1 c2=a2-b2

，解得a=2，b=1，c=

3

．∴橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：A₁（-2，0），A₂（2，0），B₁（0，1）．
∴kA2B1=-

1

2

．
∵l∥A₁B₁，∴kl=kA2B1=-

1

2

．
可設(shè)直線l的方程為y=-

1

2

x+m，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
聯(lián)立

y=- 1 2 x+m x2 4 +y2=1

消去y得x²-2mx+2m²-2=0．
∵直線l與橢圓有不同的兩個(gè)交點(diǎn)，
∴△=4m²-4（2m²-2）＞0，即-

2

＜m＜

2

，
∴x1+x2=2m，x1x2=2m2-2．
∵P，Q異于橢圓C的頂點(diǎn)，∴α≠

π

2

，β≠

π

2

，∴tanα=kA1P=

y1

x1+2

，tanβ=kB1Q=

y2-1

x2

．
∴tanα+tanβ=

y1

x1+2

+

y2-1

x2

=

y1x2+x1y2+2y2-x1-2

x2(x1+2)

．
∵y1=-

1

2

x1+m，y2=-

1

2

x2+m．
∴tanα+tanβ=

(m-1)(x1+x2)-x1x2+2m-2

(x1+2)x2

=

2m(m-1)-(2m2-2)+2m-2

(x1+2)x2

=0，
∴tan(α+β)=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=0．
又∵α，β∈（0，π），∴α+β∈（0，2π），故α+β=π．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題的解法、根與系數(shù)的關(guān)系、平行線之間的斜率關(guān)系、直線斜率的計(jì)算公式、兩角和的正切公式是解題的關(guān)鍵．