Question

【題目】已知函數(shù)

（1）若，求函數(shù)的零點(diǎn)；

（2）若不存在相異實(shí)數(shù)、，使得成立．求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若對(duì)任意實(shí)數(shù)，總存在實(shí)數(shù)、，使得成立，求實(shí)數(shù)的最大值．

Answer 1

【答案】（1）零點(diǎn)分別是：、、；（2）；（3）.

【解析】

（1）解方程即可得出函數(shù)的零點(diǎn)；

（2）將函數(shù)的解析式表示為分段函數(shù)的形式，對(duì)實(shí)數(shù)分、、三種情況討論，分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，結(jié)合題中結(jié)論可求得實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）由題意可得，對(duì)實(shí)數(shù)分、、三種情況討論，分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，求得函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值，進(jìn)而可得出，由此可求得實(shí)數(shù)的最大值.

（1）當(dāng)時(shí)，，令，可得，

所以，或，解得或，

所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)分別為、、；

（2）.

①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞減，符合題意；

②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞增，符合題意；

③當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞增，在上遞減，不符合題意.

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是；

（3）由題意可得.

①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞減，

則，，

；

②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞增，

，，

；

③當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞增，在上遞減，

，.

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，.

綜上所述，，

因此，實(shí)數(shù)的最大值為.