Question

（本小題滿分12分）
已知四棱錐 的直觀圖和三視圖如圖所示， 是 的中點(diǎn).
（Ⅰ）若 是 上任一點(diǎn)，求證：；
（Ⅱ）設(shè), 交于點(diǎn)，求直線 與平面 所成角的正弦值.

Answer 1

（Ⅰ）證明見(jiàn)解析。
（Ⅱ）

（Ⅰ）由該四棱錐的三視圖可知，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2和1的矩形，側(cè)棱平面，且.

∵
∴平面. ∴．
又在中，∵,是的中點(diǎn)，
∴．
∵,∴平面．
∴.                          6分
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知，平面,
∴平面平面,且交線為，
∴在面內(nèi)過(guò)做，垂足為,

則必有平面．連接則即
為直線 與平面 所成角.            8分
在中，．
在中，．
∴直線 與平面 所成角的正弦值為.                         12分
解法二：以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則,,,,．
∴.
設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則由 得 即 
取得.
而，∴．
設(shè)直線 與平面 所成角為，則．
∴直線 與平面 所成角的正弦值為.                        12分