Question

【題目】在橢圓外一直線上取 個不同的點(diǎn)，過向橢圓作切線、，切點(diǎn)分別為、.記直線為.

（1）若存在正整數(shù)、（、，），使得點(diǎn)在直線上，證明：點(diǎn)在直線上；

（2）試求直線將橢圓分成的區(qū)域的個數(shù).

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

設(shè)橢圓:，直線：，.

則點(diǎn)關(guān)于橢圓的切點(diǎn)弦的方程為 ①

（1）直線：，由點(diǎn)在上知.

從而，點(diǎn)也滿足方程①，即點(diǎn)也在直線上.

（2）當(dāng)時，直線：，即. ②

由直線在橢圓外知.

將式②代入式①整理得.

從而，直線恒過定點(diǎn).

而，故該定點(diǎn)在橢圓內(nèi).當(dāng)時，直線：，即

. ③

聯(lián)立橢圓與直線的方程并化簡得.

由直線在橢圓外知

.

將式③代入式①整理得.

此時，直線恒過定點(diǎn).

而，故該定點(diǎn)在橢圓內(nèi).

綜上，直線交于橢圓內(nèi)一定點(diǎn).

故這條直線將橢圓分成個區(qū)域.