Question

已知等差數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，a₁=1，前n項(xiàng)和為S_n，又在等比數(shù)列{b_n}中，b₁=2，b₂S₂=16，且當(dāng)n≥2時(shí)，有成立，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，證明：．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知，構(gòu)造出方程2q•（2+d）=16和q^d=4，解得公差和公比，代入等差數(shù)列和等比數(shù)列通項(xiàng)公式，可得答案．
（2）由（1）中結(jié)論，求出數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式，用放縮法即可得證．
解答：解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，
∴設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，d∈N，等比數(shù)列{b_n}的公比為q，
則∵a₁=1，b₁=2，b₂S₂=16，當(dāng)n≥2時(shí)，有成立，
∴2q•（2+d）=16…①
q^d=4…②
解得q=d=2
故a_n=2n-1，b_n=2ⁿ，
（2）∵=
∴c₁+c₂+…+c_n≤==
又由n∈N^*，則，
所以=
∴．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列和不等式的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的應(yīng)用．考查分析解決問(wèn)題的能力和運(yùn)算能力，是難題．