Question

已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，觀察如圖的程序框圖，若k=5，k=10時(shí)，分別有S=

5

11

和S=

10

21

（1）試求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；
（2）令b_n=n•2^a（n∈N⁺），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n的值．

Answer 1

分析：（1）數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，觀察如圖的程序框圖，主要循環(huán)條件i＞k，求和M=

1

akak+1

，求出S，討論d與0的關(guān)系，從而求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；
（2）由（1）可得：b_n=n•2^2n-1，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n的值，利用錯(cuò)位相減法求出T_n，從而進(jìn)行求解；

解答：解：（1）由框圖可知S=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

akak+1

，
∵{a_n}是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，
若d=0，則當(dāng)k=5時(shí)，S=5×

1

a 2 1

=

5

11

可得a₁=

11

，
當(dāng)k=10時(shí)，S=10×

1

a 2 1

=

10

21

可得a₁=

21

，顯然不成立，故舍去，
∴d≠0，∴

1

akak+1

=

1

d

（

1

ak

-

1

ak+1

），
所以，S=

1

d

(

1

a1

-

1

a2

+…+

1

ak

-

1

ak+1

)=

1

d

（

1

a1

-

1

ak+1

）
由題意可知，k=5時(shí)，S=

5

11

，k=10時(shí)，S=

10

21

，

1 d ( 1 a1 - 1 a6 )= 5 11 1 d ( 1 a1 - 1 a11 )= 10 21

⇒

a1=1 d=2

或

a1=-1 d=-2

，
故a_n=2n-1；
（2）由（1）可得：b_n=n•2^2n-1，
∴T_n=1•2+2•2³+3•2⁵+…+（n-1）•2^2n-3+n•2^2n-1①，
又2²•T_n=1•2³+2•2⁵+…+（n-1）2^2n-1+n•2²ⁿ⁺¹，②
①-②得，
-3Tn=2+2³+2⁵+…+2^2n-1-n•2²ⁿ⁺¹=

2(1-4n)

1-4

-n•22n+1=

2(1-4n)

-3

-n•22n+1
∴T_n=

2

9

（1-4n）+

n

3

•22n+1即T_n=

2

9

+

2(3n-1)

9

•4n；

點(diǎn)評：根據(jù)流程圖計(jì)算運(yùn)行結(jié)果是算法這一模塊的重要題型，處理的步驟一般為：分析流程圖，從流程圖中即要分析出計(jì)算的類型，又要分析出參與計(jì)算的數(shù)據(jù)建立數(shù)學(xué)模型，根據(jù)第一步分析的結(jié)果，選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型解模．算法和程序框圖是新課標(biāo)新增的內(nèi)容，在近兩年的新課標(biāo)地區(qū)高考都考查到了，是一道中檔題；