Question

【題目】如圖所示，四棱錐P﹣ABCD的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，∠PDA＝45°，E，F分別為AB，PC的中點(diǎn).

（1）證明：EF∥平面PAD；

（2）在線段BC上是否存在一點(diǎn)H，使平面PAH⊥平面DEF？若存在，求此時(shí)二面角C﹣HD﹣P的平面角的正切值：若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）存在，正切值為

【解析】

（1）取中點(diǎn)，連接，，則是的中位線，推導(dǎo)出是平行四邊形，從而，由此能證明平面；

（2）當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，，推導(dǎo)出平面，平面平面，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則為二面角的平面角的補(bǔ)角，由此能求出二面角的平面角的正切值.

（1）證明：取PD中點(diǎn)M，連結(jié)AM，FM，

則MF是△PCD的中位線，

∴MF∥CD，且MF，

又四邊形ABCD是正方形，則AE∥CD，

且E為AB中點(diǎn)，則AEABCD，

∴AE∥MF，且AE＝MF，∴AMFE是平行四邊形，

∴EF∥AM，

又AM平面PAD，EF平面PAD，

∴EF∥平面PAD.

（2）解：在正方形中，取H為BC中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，易證ED⊥AH，

又∵AP⊥ED，且AP，AH為平面APH內(nèi)兩相交直線，

∴ED⊥平面PAH，

又ED平面DEF，∴平面EFD⊥平面PAH，

此時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥DH于點(diǎn)G，

則∠PGA為二面角C﹣HD﹣P的平面角的補(bǔ)角，

由，則AG，tan∠AGP，

∴二面角C﹣HD﹣P的平面角的正切值為.