Question

【題目】已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1＝1， ＝2an＋1(an＋1)－an.

(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ)設(shè)bn＝，求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和Tn.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)an＝()n－1(Ⅱ)Tn＝2－(n＋1)( )n－1.

【解析】試題分析：(Ⅰ)由＝2an＋1(an＋1)－an，化簡(jiǎn)可得.進(jìn)而可得an＝()n－1.

(Ⅱ) 根據(jù)錯(cuò)位相減法，即可求出數(shù)列的數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和Tn.

試題解析：(Ⅰ)由＝2an＋1(an＋1)－an，

得2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)，

因?yàn)閿?shù)列{an}的各項(xiàng)都為正數(shù)，所以.

故數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，因此an＝()n－1.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知an＝()n－1，故bn＝n－1，所以an·bn＝(n－1)( )n－1，數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和Tn＝＋2×()2＋3×()3＋…＋(n－2)×()n－2＋(n－1)×()n－1①

Tn＝()2＋2×()3＋3×()4＋…＋(n－2)×()n－1＋(n－1)×()n，②

①－②得Tn＝＋()2＋()3＋…＋()n－1－(n－1)×()n

＝－(n－1)×()n＝1－()n－1－(n－1)×()n＝1－(n＋1)( )n，

Tn＝2－(n＋1)( )n－1.