Question

【題目】已知函數(shù)，

（1）若恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值；

（2）設(shè)函數(shù)，求證：.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)，對(duì)不等式進(jìn)行參變分離，得到，

令，即恒成立等價(jià)于，然后通過(guò)求導(dǎo)，得出即可；

（2）由（1）知，，只需證.

變形，令，故只需證即可，

通過(guò)求導(dǎo)得到，

注意到，還需要令進(jìn)行二次求導(dǎo)，進(jìn)而判斷出的正負(fù)情況，然后，得到的單調(diào)性，進(jìn)而得出，即可證明結(jié)論成立.

解：（1）由題意，原不等式可化為，

令，則，

由得在上單調(diào)遞增減；

由得在上單調(diào)遞增.

所以，所以.

（2）由（1）知，，只需證.

令，則，

令，，在上單調(diào)遞增，

注意到，所以當(dāng)，，，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)，，，在上單調(diào)遞增.

所以，

∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.

而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.

所以，從而.