Question

已知等差數(shù)列{a_n}公差不為0，其前n項(xiàng)和為S_n，等比數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和為B_n，公比為q，且|q|＞1，則

lim

n→+∞

(

Sn

nan

+

Bn

bn

)=

1

2

+

q

q-1

．

Answer 1

分析：設(shè)出等差數(shù)列的公差，求出前n項(xiàng)和，通項(xiàng)公式；求出等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，通項(xiàng)公式，即可化簡(jiǎn)

Sn

nan

+

Bn

bn

，求出

lim

n→+∞

(

Sn

nan

+

Bn

bn

)．

解答：解：等差數(shù)列的公差為d，所以前n項(xiàng)和為S_n=na1+

n(n-1)

2

d，a_n=a₁+（n-1）d；
等比數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和為B_n，公比為q，且|q|＞1，B_n=

b1(1-qn)

1-q

，b_n=b₁q^n-1；
所以

lim

n→+∞

(

Sn

nan

+

Bn

bn

)=

lim

n→+∞

(

na1+ n(n-1) 2 d

n [a1+(n-1)d]

+

b1(1-qn) 1-q

b1qn-1

)
=

lim

n→+∞

(

a1 n + d 2 - d 2n

a1 n +1- d n

+

1-qn

(1-q)qn-1

 )
=

1

2

+

q

q-1

故答案為：

1

2

+

q

q-1

．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的求法，數(shù)列極限的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，注意公比的范圍．