Question

【題目】已知函數(shù)，

（1）求證在上遞增；

（2）若在上的值域是，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）當(dāng)在上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）設(shè)，計(jì)算得到證明.

（2）若在上的值域是，則，構(gòu)造函數(shù)與 （），利用兩函數(shù)的圖像有兩個公共點(diǎn)，即求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）當(dāng)在上恒成立在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用基本不等式可求得，從而可求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

（1）設(shè)，則

故，即函數(shù)單調(diào)遞增.

（2）∵在上單調(diào)遞增，∴若在上的值域是，

則，即，

故函數(shù)與（）的圖像有兩個公共點(diǎn)，

∵當(dāng)時，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“=”），

∴，解得.

（3）∵，在上恒成立上，

∴在上恒成立，

令，則（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號），

要使上恒成立，故a的取值范圍是.