【題目】已知函數(shù)
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)已知函數(shù)的圖象與函數(shù)
的圖象關于直線
對稱,證明當
時,
;
(3)如果,且
,證明:
.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)見解析.
【解析】本試題主要是考查了運用導數(shù)研究函數(shù)的性質的綜合運用。
(1)利用導數(shù),結合導數(shù)的符號與函數(shù)單調(diào)性的關系得到第一問中的單調(diào)區(qū)間和極值問題。
(2)先利用對稱性求解函數(shù)的解析式,然后構造函數(shù)證明不等式恒成立,或者利用第一問的結論,結合對稱性得到證明。
(3)由上可知函數(shù)的的單調(diào)性,結合性質可知不等式的證明。
(Ⅰ).令
,則
.
當變化時,
的變化情況如下表:
增 | 極大值 | 減 |
所以在區(qū)間
內(nèi)是增函數(shù),在區(qū)間
內(nèi)是減函數(shù).
函數(shù)在
處取得極大值
.且
.
(Ⅱ)因為函數(shù)的圖象與函數(shù)
的圖象關于直線
對稱,
所以,于是
.
記,則
,
,
當時,
,從而
,又
,所以
,
于是函數(shù)在區(qū)間
上是增函數(shù).
因為,所以,當
時,
.因此
.
(Ⅲ)(1) 若,由(Ⅰ)及
,得
,與
矛盾;
(2) 若,由(Ⅰ)及
,得
,與
矛盾;
根據(jù)(1),(2)可得.不妨設
.
由(Ⅱ)可知,所以
.
因為,所以
,又
,由(Ⅰ),
在區(qū)間
內(nèi)是增函數(shù),
所以,即
.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知美國蘋果公司生產(chǎn)某款iPhone手機的年固定成本為40萬美元,每生產(chǎn)1萬只還需另投入16萬美元.設蘋果公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款iPhone手機x萬只并全部銷售完,每萬只的銷售收入為R(x)萬美元,且R(x)=
(1)寫出年利潤W(萬美元)關于年產(chǎn)量x(萬只)的函數(shù)解析式;
(2)當年產(chǎn)量為多少萬只時,蘋果公司在該款iPhone手機的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大?并求出最大利潤.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
(1)當時,求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)在區(qū)間
上有1個零點,求實數(shù)
的取值范圍;
(3)是否存在正整數(shù),使得
在
上恒成立?若存在,求出k的最大值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】定義在R上的奇函數(shù)f(x),當x≥0時,f(x)=,則關于x的函數(shù)F(x)=f(x)-
的所有零點之和為______.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】過雙曲線 =1(a>0,b>0)的右焦點F作一條直線,當直線斜率為l時,直線與雙曲線左、右兩支各有一個交點;當直線斜率為3時,直線與雙曲線右支有兩個不同的交點,則雙曲線離心率的取值范圍為( )
A.(1, )
B.(1, )
C.( ,
)
D.( ,
)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,已知點
和直線
:
,設圓
的半徑為1,圓心在直線
上.
(Ⅰ)若圓心也在直線
上,過點
作圓
的切線.
(1)求圓的方程;(2)求切線的方程;
(Ⅱ)若圓上存在點
,使
,求圓心
的橫坐標
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知直線:
和圓
:
.
(1)求證:直線恒過一定點
;
(2)試求當為何值時,直線
被圓
所截得的弦長最短;
(3)在(2)的前提下,直線是過點
,且與直線
平行的直線,求圓心在直線
上,且與圓
相外切的動圓中半徑最小圓的標準方程.
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