Question

已知橢圓C的左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(-,0),(,0),離心率是.直線y=t與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N,以線段MN為直徑作圓P,圓心為P.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若圓P與x軸相切,求圓心P的坐標(biāo);
(3)設(shè)Q(x,y)是圓P上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)t變化時(shí),求y的最大值.

Answer 1

（1）+y²=1  （2）（0,±）  （3）2

解:(1)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824041430908352.png" style="vertical-align:middle;" />=,且c=,
所以a=,b==1.
所以橢圓C的方程為+y²=1.
(2)由題意知P(0,t)(-1<t<1).
由
得x=±.
所以圓P的半徑為.
當(dāng)圓P與x軸相切時(shí),|t|=.
解得t=±.
所以圓心P的坐標(biāo)是（0,±）.
(3)由(2)知,圓P的方程為x²+(y-t)²=3(1-t²).
因?yàn)辄c(diǎn)Q(x,y)在圓P上,
所以y=t±≤t+.
設(shè)t="cos" θ,θ∈(0,π),
則t+="cos" θ+sin θ=2sin（θ+）.
當(dāng)θ=,即t=,且x=0時(shí),y取最大值2.