Question

【題目】已知函數(shù)，．

（1）記，判斷在區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù)并說明理由；

（2）記在內(nèi)的零點為，，若（）在內(nèi)有兩個不等實根，（），判斷與的大小，并給出對應(yīng)的證明．

Answer 1

【答案】（1）在區(qū)間有且僅有唯一實根；

（2），證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）求出，得出函數(shù)在上單調(diào)遞增，在利用零點的存在性定理，即可得到結(jié)論；（2）由（1）知，當時，，且存在使得，故時，；當時，，得出因而，根據(jù)的單調(diào)性，判定出與的大小關(guān)系，在給出相應(yīng)的證明．

試題解析：（1）證明：，定義域為，，

而，故，即在上單調(diào)遞增，

又，，而在上連續(xù)，故根據(jù)根的存在性定理有：在區(qū)間有且僅有唯一實根

（2）由（1）知，，當時，，且存在使得，故時，；當時，．

因而，

顯然當時，，因而單增；當時，，，因而遞減；在有兩不等實根，，

則，

顯然當時，，下面用分析法給出證明．要證：即證，而在上遞減，故可證，又由，即證，即，

記，，其中．

，

記，，當時，；時，故，而故，而，從而，因此，

即單增．從而時，即，

故得證