Question

某校高三數(shù)學競賽初賽考試后，對考生成績進行統(tǒng)計（考生成績均不低于90分，滿分150分），將成績按如下方式分成六組，第一組[90，100）、第二組[100，110）…第六組[140，150]．如圖為其頻率分布直方圖的一部分，若第四、五、六組的人數(shù)依次成等差數(shù)列，且第六組有4人．
（Ⅰ）請補充完整頻率分布直方圖，并估計這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)M；
（Ⅱ）現(xiàn)根據(jù)初賽成績從第四組和第六組中任意選2人，記他們的成績分別為x，y．若|x-y|≥10，則稱此二
人為“黃金幫扶組”，試求選出的二人的概率P₁；
（Ⅲ）以此樣本的頻率當作概率，現(xiàn)隨機在這組樣本中選出的3名學生，求成績不低于120分的人數(shù)ξ分布列及期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設第四，五組的頻率分別為x，y，則2y=x+0.005×10，x+y=1-（0.005+0.015+0.02+0.035）×10，解得x=0.15，y=0.10，從而得出直方圖和平均數(shù)M．
（Ⅱ）依題意先求出第四組人數(shù)，然后能夠求出選出的二人的概率P₁．
（Ⅲ）依題意樣本總人數(shù)為

4

0.05

=80，成績不低于120分人數(shù)為80×（0.05+0.10+0.15）=24，故在樣本中任選1人，其成績不低于120分的概率為

24

80

=

3

10

，又由已知ξ的可能取值為0，1，2，3，由此能求出ξ的分布列和期望．

解答：解：（Ⅰ）設第四，五組的頻率分別為x，y，則2y=x+0.005×10①x+y=1-（0.005+0.015+0.02+0.035）×10②由①②解得x=0.15，y=0.10（2分）
從而得出直方圖（如圖所示）
（3分）
M=95×0.2+105×0.15+115×0.35+125×0.15+135×0.1+145×0.05=114.5（4分）
（Ⅱ）依題意第四組人數(shù)為4×

0.015

0.005

=12，故P1=

C 1 12 C 1 4

C 2 16

=

2

5

（6分）
（Ⅲ）依題意樣本總人數(shù)為

4

0.05

=80，成績不低于120分人數(shù)為80×（0.05+0.10+0.15）=24（7分）
故在樣本中任選1人，其成績不低于120分的概率為

24

80

=

3

10

又由已知ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=0.337，P（ξ=1）=0.450，P（ξ=2）=0.188，P（ξ=3）=0.025．
故ξ的分布列如下：

ξ	0	1	2	3
P	0.337	0.450	0.188	0.025

Eξ=0×0.337+1×0.450+2×0.188+3×0.025=0.901．（12分）

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，解題時要合理地運用方程思想，同時要注意二項分布的靈活運用．