Question

某校高三數(shù)學(xué)競賽初賽考試后，對90分以上（含90分）的成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其頻率分布直方圖如圖所示．若130～140分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為2人．
（1）求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)M；
（2）現(xiàn)根據(jù)初賽成績從第一組和第五組（從低分段到高分段依次為第一組、第二組、…、第五組）中任意選出兩人，形成幫扶學(xué)習(xí)小組．若選出的兩人成績之差大于20，則稱這兩人為“黃金搭檔組”，試求選出的兩人為“黃金搭檔組”的概率．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)頻率分布直方圖可知，各個小組的頻率，再根據(jù)平均數(shù)的求法即可解出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)M．
（II）本題是一個等可能事件的概率，可以列舉出從第一組和第五組中任意選出兩人共有下列15種選法，滿足條件的事件是兩人成績之差大于20，則兩人分別來自于第一組和第五組，共有8種選法，根據(jù)等可能事件的概率公式得到結(jié)果．

解答：解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖可知：90～100分的頻率為0.1，100～110分的頻率為0.25，110～120分的頻率為0.45，120～130分的頻率為0.15，130～140分的頻率為0.05；
∴這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)M=95×0.1+105×0.25+115×0.45+125×0.15+135×0.05=113（分）
（Ⅱ）∵第五組130～140分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為2人，頻率為0.05；
故參加的總?cè)藬?shù)為 2÷0.05=40人．
第一組共有40×0.01×10=4人，記作A₁、A₂、A₃、A₄；
第五組共有2人，記作B₁、B₂
從第一組和第五組中任意選出兩人共有下列15種選法：{A₁，A₂}、{A₁，A₃}、
{A₁，A₄}、{A₂，A₃}、{A₂，A₄}、{A₃，A₄}；{A₁，B₁}、{A₂，B₁}、{A₃，B₁}、
{A₄，B₁}；{A₁，B₂}、{A₂，B₂}、{A₃，B₂}、{A₄，B₂}；{B₁，B₂}．共有15種結(jié)果，
設(shè)事件A：選出的兩人為“黃金搭檔組”．
若兩人成績之差大于20，則兩人分別來自于第一組和第五組，共有8種選法，
故P（A）=

8

15

．

點(diǎn)評：本題考查用樣本的頻率分布估計(jì)總體的頻率分布，考查等可能事件的概率，考查用列舉法來數(shù)出事件數(shù)，這是一個概率與統(tǒng)計(jì)的綜合題目．