Question

【題目】已知△ABC，若存在△A1B1C1 ， 滿足 = = =1，則稱△A1B1C1是△ABC的一個(gè)“友好”三角形．在滿足下述條件的三角形中，存在“友好”三角形的是：（請(qǐng)寫出符合要求的條件的序號(hào)） ①A=90°，B=60°，C=30°；②A=75°，B=60°，C=45°；③A=75°，B=75°，C=30°；④A=75°，B=65°，C=45°．

Answer 1

【答案】②
【解析】解：①項(xiàng)，A=90°，cosA=0=sinA1 ， A1=180°或0，不滿足三角形內(nèi)角和為180°的條件，故①項(xiàng)不符合條件； ②項(xiàng)，cosC=cos45°=sinC1 ， 則C1=45°或135°；cosB=cos60°= =sinB1 ， 則B1=30°或150°，
又三角形內(nèi)角和為180°，
∴△A1B1C1可能的組合是： 或 ，
第一種情況A1=105°時(shí)，cosA=cos75°≠sin105°，這種情況不符合題意；
當(dāng)?shù)诙�種情況A1=15°，滿足滿足cosA=cos75°=sin15°，故②項(xiàng)符合條件；
③項(xiàng)，cosC=cos30°=sinC1 ， 則C1=60°或120°，又A=B=75°，
∴A1=B1 ，
當(dāng)C1=60時(shí)，A1=B1=C1=60°，
≠ ，即 ≠ ，不符合題意；
當(dāng)C1=120°時(shí)，A1=B1=30°，則 ≠ ，即 ≠ ，故③項(xiàng)不符合條件；
由A+B+C≠180°，不能構(gòu)成三角形，故④項(xiàng)不符合條件；
所以答案是：②