Question

【題目】如圖所示，三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，且底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，點(diǎn)D，E，F分別是所在棱的中點(diǎn).

（1）在線段上找一點(diǎn)使得平面∥平面，給出點(diǎn)的位置并證明你的結(jié)論；

（2）在（1）的條件下，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)與點(diǎn)重合，證明見解析，（2）

【解析】

（1）首先連接，.根據(jù)三角形中位線得到，根據(jù)四邊形是平行四邊形，得到，即證平面∥平面.

（2）首先以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.分別求平面和平面的法向量，再代入二面角公式計(jì)算即可.

（1）點(diǎn)與點(diǎn)重合，證明如下：

連接，.

因?yàn)?/span>分別是和的中點(diǎn)，所以.

因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面.

因?yàn)?/span>分別是和的中點(diǎn)，所以，且，

所以四邊形是平行四邊形，所以.

因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面.

又因?yàn)?/span>，所以平面平面.

（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，軸

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

由（1）可得二面角即.

則，，.

所以，.

因?yàn)槠矫?/span>平面，所以平面的法向量即平面的法向量，

設(shè)為，則.

令，則.

因?yàn)?/span>，，.

所以，.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為.

則，

令，則.

則.

由圖易知二面角的平面角是銳角，所以余弦值為.