Question

已知函數(shù)g（x）=ax³+bx²+cx（），g（﹣1）=0，則g（x）的導(dǎo)函數(shù)f（x）滿足f（0）f（1）0．設(shè)x₁，x₂為方程f（x）=0的兩根．

（1）求的取值范圍；
（2）若當(dāng)|x₁﹣x₂|最小時(shí)，g（x）的極大值比極小值大，求g（x）的解析式．

Answer 1

解：（1）由題意可得b﹣a﹣c=0，函數(shù)f（x）=3ax²+2bx+c，且f（0）f（1）=c（3a+2b+c）0．
化簡(jiǎn)可得 3b²﹣ab﹣2a²0，
a0，
3﹣﹣20．解得﹣1，
故 的取值范圍是．
（2），
，
故當(dāng) ，即a=b時(shí)，取最小值，即|x₁﹣x₂|取最小值．
此時(shí)，g（x）=ax³+ax²
f（x）=3ax²+2ax．
當(dāng)a＞0時(shí)  f（x）在 上是增函數(shù)，在 上是減函數(shù)，在（0，+） 上是增函數(shù)．
g（x）的極大值為，極小值為g（0）=0．
由題意，a=9，此時(shí)g（x）=9x³+9x²．
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在 在 上是減函數(shù)，在 上是增函數(shù)，在（0，+） 上是減函數(shù)．
g（x）的極大值為g（0）=0，極小值為．
由題意 ，a=﹣9，此時(shí)g（x）=﹣9x³﹣9x²．