Question

已知雙曲線C的中心為原點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)，過點(diǎn)F作漸近線的垂線l，垂足為M，直線l交y軸于點(diǎn)E，若，則C的方程為    ．

Answer 1

【答案】分析：先根據(jù)條件求出EF的方程，得到E．F的坐標(biāo)，再根據(jù)，求出M的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)M在漸近線上得到a，b之間的關(guān)系，再由點(diǎn)是雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)，可求出答案．
解答：解：設(shè)雙曲線C的為，a＞0，b＞0．
漸近線方程是y=±x
右焦點(diǎn)的坐標(biāo)是（，0）
現(xiàn)在假設(shè)由右焦點(diǎn)向一、三象限的漸近線引垂線
所以取方程y=x
∵EF垂直于漸近線，
∴直線EF的斜率是-，
該直線的方程是y=-（x-）
當(dāng)x=0時(shí)，y=，
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)（0，）
∵，
∴M的坐標(biāo)（，）
∵點(diǎn)M在漸近線上，∴，
整理得：b²=a²，
∵c=，∴b²=a²=1．
∴雙曲線方程為x²-y²=1．
故答案為：x²-y²=1．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化和化歸的數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，以及基本的運(yùn)算能力．