【題目】已知圓:
,圓
:
,動圓
與圓
和圓
均內(nèi)切.
(1)求動圓圓心的軌跡
的方程;
(2)過點的直線
與軌跡
交于
,
兩點,過點
且垂直于
的直線交軌跡
于兩點
,
兩點,求四邊形
面積的最小值.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)由兩圓位置關(guān)系可得,確定圓心
的軌跡
是以
,
為焦點,以4為長軸長的橢圓.由此可得軌跡方程;
(2)分類:當(dāng)直線的斜率不存在或為0時,直接求出面積,當(dāng)直線
的斜率存在且不為0時,不妨設(shè)其方程為:
,代入曲線
的方程,整理后由韋達定理得
,由弦長公式求得弦長
,同理得
,計算面積
,利用基本不等式可得最小值.
解:(1)設(shè)點坐標(biāo)為
,圓
的半徑為
.則
,
,
從而.
所以圓心的軌跡
是以
,
為焦點,以4為長軸長的橢圓.
故動圓圓心的軌跡
的方程為:
.
(2)①當(dāng)直線的斜率不存在或為0時,此時不妨設(shè)
,
,
此時.
②當(dāng)直線的斜率存在且不為0時,不妨設(shè)其方程為:
,
,
,
聯(lián)立,
由,
,
此時.
同理得:.
故.
當(dāng)且僅當(dāng)“”,即
時等號成立,又
.
故四邊形面積的最小值為
.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中e是自然對數(shù)的底數(shù).
(1)若,證明:
;
(2)若時,都有
,求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】很多關(guān)于整數(shù)規(guī)律的猜想都通俗易懂,吸引了大量的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛好者,有些猜想已經(jīng)被數(shù)學(xué)家證明,如“費馬大定理”,但大多猜想還未被證明,如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的內(nèi)容是:對于每一個正整數(shù),如果它是奇數(shù),則將它乘以再加1;如果它是偶數(shù),則將它除以
;如此循環(huán),最終都能夠得到
.下圖為研究“角谷猜想”的一個程序框圖.若輸入
的值為
,則輸出i的值為( )
A.B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)生為了測試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問題設(shè)計了一個實驗,并獲得了煤氣開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)與燒開一壺水所用時間
的一組數(shù)據(jù),且作了一定的數(shù)據(jù)處理(如表),得到了散點圖(如圖).
1.47 | 20.6 | 0.78 | 2.35 | 0.81 | -19.3 | 16.2 |
表中,
.
(1)根據(jù)散點圖判斷,與
哪一個更適宜作燒開一壺水時間
關(guān)于開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)
的回歸方程類型?(不必說明理由)
(2)根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù),建立關(guān)于
的回歸方程;
(3)若旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)與單位時間內(nèi)煤氣輸出量
成正比,那么
為多少時燒開一壺水最省煤氣?
附:對于一組數(shù)據(jù),…,
,其回歸直線
的斜率和截距的最小二乘估計分別為
,
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知
、
分別為橢圓
的左、右焦點,直線
過點
且垂直于橢圓的長軸,動直線
垂直于直線
于點
,線段
的中垂線交
于點
.記點
的軌跡為曲線
.
(1)求曲線的方程,并說明
是什么曲線;
(2)若直線與曲線
交于兩點
、
,則在圓
上是否存在兩點
、
,使得
,
?若存在,請求出
的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)學(xué)興趣小組為了測量校園外一座“不可到達”建筑物的高度,采用“兩次測角法”,并自制了測量工具:將一個量角器放在復(fù)印機上放大4倍復(fù)印,在中心處綁上一個鉛錘,用于測量樓頂仰角(如圖);推動自行車來測距(輪子滾動一周為1.753米).該小組在操場上選定A點,此時測量視線和鉛錘線之間的夾角在量角器上度數(shù)為37°;推動自行車直線后退,輪子滾動了10卷達到B點,此時測量視線和鉛錘線之間的夾角在量角器上度數(shù)為53°.測量者站立時的“眼高”為1.55m,根據(jù)以上數(shù)據(jù)可計算得該建筑物的高度約為___________米.(精確到0.1)
參考數(shù)據(jù):,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為了解高三男生的體能達標(biāo)情況,抽調(diào)了120名男生進行立定跳遠測試,根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到如下的頻率分布直方圖.若立定跳遠成績落在區(qū)間的左側(cè),則認為該學(xué)生屬“體能不達標(biāo)的學(xué)生,其中
分別為樣本平均數(shù)和樣本標(biāo)準(zhǔn)差,計算可得
(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表).
(1)若該校高三某男生的跳遠距離為,試判斷該男生是否屬于“體能不達標(biāo)”的學(xué)生?
(2)該校利用分層抽樣的方法從樣本區(qū)間中共抽出5人,再從中選出兩人進行某體能訓(xùn)練,求選出的兩人中恰有一人跳遠距離在
的概率.
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