Question

【題目】已知函數(shù)在處取得極小值.

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）若函數(shù)存在極大值與極小值，且函數(shù)有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（參考數(shù)據(jù)：，）

Answer 1

【答案】（1）或（2）

【解析】

（1）根據(jù)極值的定義，求出或，再對的兩種取值分別進(jìn)行驗(yàn)證；

（2）由第（1）問先確定，得到，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，再結(jié)合零點(diǎn)存在定理的條件，得到參數(shù)的取值范圍.

解：（1）由題意得.

因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極小值，

依題意知，解得或.

當(dāng)時，，若，，則函數(shù)單調(diào)遞減，

若，，則函數(shù)單調(diào)遞增，

所以，當(dāng)時，取得極小值，無極大值，符合題意.

當(dāng)時，，若或，，則函數(shù)單調(diào)遞增；

若，，則函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取得極小值，處取得極大值，符合題意，

綜上，實(shí)數(shù)或.

（2）因?yàn)楹瘮?shù)存在極大值與極小值，所以由（1）知，.

所以，.

當(dāng)時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時，令，則，所以當(dāng)或時，，單調(diào)遞增，

當(dāng)時，，單調(diào)遞減，

因?yàn)?/span>，

，所以當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減.

因?yàn)楹瘮?shù)在上有兩個零點(diǎn)，所以，所以.

取，；

取，，

所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是.