Question

【題目】已知橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，過的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且周長(zhǎng)為8.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）是否存在直線，使以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，若存在求出直線的方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）.（2）不存在，理由見解析.

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的定義可知周長(zhǎng)為 ，即.又由，且，可求出，即可寫出橢圓的方程；

（2）設(shè)出直線方程，將其代入橢圓的方程，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，寫出韋達(dá)定理.以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則，再將韋達(dá)定理的式子代入，化簡(jiǎn)為一個(gè)關(guān)于的方程，該方程有解，則存在直線滿足題意，反之，則不存在.

（1）根據(jù)橢圓的定義可知周長(zhǎng)為，

即，

離心率 ，則，

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）由（1）得，

易知直線不能平行于軸，

故設(shè)直線的方程為，設(shè)、，

聯(lián)立方程得，

，

若原點(diǎn)在以為直徑的圓上，則，

即，即，

又

而上述關(guān)于的方程顯然沒有實(shí)數(shù)解，

故直線不存在.