Question

【題目】已知函數的定義域為,對任意實數,都有.

（1）若， ，且，求， 的值；

（2）若為常數，函數是奇函數，

①驗證函數滿足題中的條件；

②若函數求函數的零點個數.

Answer 1

【答案】(1) ， .（2）見解析

【解析】試題分析：（1）先判斷出函數為奇函數， ， ，解方程組即可得到答案；（2）①根據函數的奇偶性，求出a的值，進而根據對數的運算性質，計算f（x）+f（y）與.并進行比較，可得答案；②把函數的零點個數問題轉化為兩個圖象的交點個數問題.

試題解析：

（1）對題中條件取，得，

再取，得，則，

即函數在內為奇函數.

所以，

又，

解得， .

（2）由函數是奇函數，得，則

此時，滿足函數是奇函數，且有意義.

①由，得，則對任意實數,

有，

，

所以.

②由，得，令則

作出圖像

由圖可知，當時，只有一個，對應有3個零點；

當時，只有一個，對應只有一個零點；

當時， ，此時， ， ，

由

得在時， ，三個分別對應一個零點，共3個，

在時， ，三個分別對應1個，1個，3個零點，共5個.

綜上所述，當時，函數只有1零點；

當 或時，函數有3零點；

當時，函數有5點.