Question

已知函數(shù)f（x）=3^x，且f（a+2）=18，g（x）=3^ax-4^x的定義域為區(qū)間[-1，1]．
（1）求g（x）的解析式；
（2）判斷g（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=3^x，且f（a+2）=18，得3^a=2，由此能求出g（x）的解析式．
（2）由g（x）=-（2^x）²+2^x=-（2^x-2）²+

1

4

，知當(dāng)x∈[-1，1]時，2x∈[

1

2

，2]，由此能導(dǎo)出函數(shù)g（x）在[-1，1]上是減函數(shù)．

解答：解：（1）∵f（x）=3^x，且f（a+2）=18，
∴3^a+2=18，3^a=2，
故g（x）=3^ax-4^x=2^x-4^x，x∈[-1，1]．
（2）∵g（x）=-（2^x）²+2^x=-（2^x-2）²+

1

4

，
當(dāng)x∈[-1，1]時，2x∈[

1

2

，2]，
令t=2^x，由二次函數(shù)的單調(diào)性，得
-(t-

1

2

)2+

1

4

在[

1

2

，2]上是減函數(shù)，
∴函數(shù)g（x）在[-1，1]上是減函數(shù)．

點評：本題考查函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．