Question

已知可行域的外接圓C與x軸交于點(diǎn)A₁、A₂，橢圓C₁以線(xiàn)段A₁A₂為長(zhǎng)軸，離心率．
（1）求圓C及橢圓C₁的方程；
（2）設(shè)橢圓C₁的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為圓C上異于A₁、A₂的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)O作直線(xiàn)PF的垂線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)Q，判斷直線(xiàn)PQ與圓C的位置關(guān)系，并給出證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）由C：x²+y²=4，A₁（-2，0），A₂（2，0），能求出橢圓方程．
（2）設(shè)p（x，y），（x≠±2），當(dāng)x=時(shí)，P（2，），，k_Op•k_PQ=-1，當(dāng)時(shí)，，，由此能判斷直線(xiàn)PQ與圓C的位置關(guān)系．
解答：解：（1）：解方程組，得：y=0，x=-2，
，得：y=0，x=2，
，得：y=，x=1，
∴可行域y的三個(gè)頂點(diǎn)分別為：（-2，0），（2，0），（1，），
設(shè)圓的方程為：x²+y²+Dx+Ey+F=0，
得到方程組：，
解得：D=0，E=0，F(xiàn)=-4，
∴圓C的方程為：x²+y²=4，
圓與X軸的交點(diǎn)A₁（-2，0），A₂（2，0），
設(shè)橢圓C₁的方程的方程為：
，（a＞b＞0）
則有，
∴橢圓方程為：
（2）設(shè)p（x，y），（x≠±2），
∴當(dāng)x=時(shí)，P（2，），
，k_Op•k_PQ=-1，
當(dāng)時(shí)，，，
∴，
∴，
∴K_OP•K_PQ=-1，故相切．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合應(yīng)用能力，綜合性強(qiáng)，是高考的重點(diǎn)．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線(xiàn)與橢圓的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．