Question

【題目】設(shè)f（x）是定義在R上的函數(shù)，對任意x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求f（0）的值；
（2）求證f（x）為奇函數(shù)；
（3）若函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)，已知f（1）=1，且f（2a）＞f（a﹣1）+2，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：令y=x=0得

f（0）=2f（0）

∴f（0）=0

（2）證明：令y=﹣x得f（0）=f（x）+f（﹣x）→f（﹣x）=﹣f（x）

又函數(shù)的定義域為R

∴f（x）為奇函數(shù)

（3）解：∵f（x+y）=f（x）+f（y）又f（1）=1

∴2=f（1）+f（1）=f（1+1）=f（2）

∴f（2a）＞f（a﹣1）+2即為f（2a）＞f（a﹣1）+f（2）

又f（a﹣1）+f（2）=f（a﹣1+2）=f（a+1）

∴f（2a）＞f（a+1）

又函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)

∴2a＞a+1得a＞1

∴a的取值范圍是{a|a＞1}

【解析】（1）令x=0，代入f（x+y）=f（x）+f（y）可構(gòu)造一個關(guān)于f（0）的方程，解方程即可得到答案；（2）令y=﹣x，f（x+y）=f（x）+f（y），可得到f（﹣x）與f（x）的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義即可得到結(jié)論；（3）由f（1）=1，我們根據(jù)f（x+y）=f（x）+f（y），易得f（2）=2，故可將f（2a）＞f（a﹣1）+2轉(zhuǎn)化為一個關(guān)于a的二次不等式，解不等式即可得到a的取值范圍．