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          已知集合M={f（x）|f（x）+f（x+2）=f（x+1），x∈R}，g(x)=sin
          πx
          3
          ．
          （1）判斷g（x）與M的關(guān)系，并說明理由；
          （2）M中的元素是否都是周期函數(shù)，證明你的結(jié)論；
          （3）M中的元素是否都是奇函數(shù)，證明你的結(jié)論．
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          （1）∵g(x)+g(x+2)=sin
          πx
          3
          +sin(
          πx
          3
          +
          2π
          3
          )=2sin
          π
          3
          (x+1)cos
          π
          3

          =sin
          π
          3
          (x+1)=g(x+1)          ∴g（x）∈M…（6分）
          （2）因g（x）是周期為6的周期函數(shù)，猜測f（x）也是周期為6的周期函數(shù)
          由f（x）+f（x+2）=f（x+1），得f（x+1）+f（x+3）=f（x+2），
          ∴f（x）+f（x+2）+f（x+1）+f（x+3）=f（x+1）+f（x+2）
          ∴f（x）+f（x+3）=0，∴f（x+3）=-f（x），
          ∴f（x+6）=-f（x+3）=f（x），得證f（x）是周期為6的周期函數(shù)，
          故M中的元素都是周期為6的周期函數(shù)．…（12分）
          （3）令h(x)=cos
          πx
          3
          ，可證得h（x）+h（x+2）=h（x+1）…（16分）
          ∴h（x）∈M，但h（x）是偶函數(shù)，不是奇函數(shù)，
          ∴M中的元素不都是奇函數(shù)．…（18分）
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習(xí)冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關(guān)習(xí)題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          8、已知集合M={f（x）|f（-x）=f（x），x∈R}；N={f（x）|f（-x）=-f（x），x∈R}；P={f（x）|f（1-x）=f（1+x），x∈R}；Q={f（x）|f（1-x）=-f（1+x），x∈R}；若f（x）=（x-1）3，x∈R，則下列關(guān)系中正確的序列號為：
          ④

          ①f（x）∈M②f（x）∈N③f（x）∈P④f（x）∈Q
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知集合M={f（x）|f2（x）-f2（y）=f（x+y）•f（x-y）}，x，y∈R，有下列命題：
          ①若f1(x)=
          1，x≥0
          -1，x＜0
          則f1（x）∈M；
          ②若f2（x）=sinx，則f2（x）∈M；
          ③若f（x）∈M，y=f（x）的圖象關(guān)于原點對稱；
          ④若f（x）∈M，則對任意不等的實數(shù)x1、x2，總有
          f1(x)-f2(x)
          x1-x2
          ＜0          ；
          ⑤若f（x）∈M，則對任意的實數(shù)x1、x2，總有f(
          x1+x2
          2
          )≤
          f1(x)+f2(x)
          2
          ．
          其中是正確的命題有
           
          ．（寫出所有正確命題的編號）
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          （2013•南充三模）已知集合M={f（x）|f2（x）-f2（y）=f（x+y）•f（x-y），x，y∈R}，有下列命題
          ①若f1（x）=
          1，x≥0
          -1，x＜0
          則f1（x）∈M；
          ②若f2（x）=2x，則f2（x）∈M；
          ③若f3（x）∈M，則y=f3（x）的圖象關(guān)于原點對稱；
          ④若f4（x）∈M則對于任意不等的實數(shù)x1，x2，總有
          f4(x1)-f4(x2)
          x1-x2
          ＜0成立．
          其中所有正確命題的序號是
          ②③
          ②③
          ．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知集合M={f（x）|在定義域內(nèi)存在實數(shù)x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立}．
          （1）函數(shù)f（x）=
          1
          x
          是否屬于集合M？說明理由．
          （2）證明：函數(shù)f（x）=2x+x2∈M．
          （3）設(shè)函數(shù)f（x）=lg
          a
          2x+1
          ∈M，求實數(shù)a的取值范圍．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          （2007•上海模擬）已知集合M={f（x）|f（x）+f（x+2）=f（x+1），x∈R}，g(x)=sin
          πx3
          ．
          （1）判斷g（x）與M的關(guān)系，并說明理由；
          （2）M中的元素是否都是周期函數(shù)，證明你的結(jié)論；
          （3）M中的元素是否都是奇函數(shù)，證明你的結(jié)論．
          

			
          

			
          
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