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          已知橢圓數(shù)學公式，直線l與橢圓C相交于A、B兩點，若以AB為直徑的圓經過坐標原點．
          （1）試探究：點O到直線AB的距離是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由；
          （2）求△AOB面積S的最小值．
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				解：（1）設A（x1，y1），B（x2，y2），
          ①當直線AB斜率不存在時，由橢圓的對稱性可知x1=x2，y1=-y2，
          ∵以AB為直徑的圓D經過坐標原點，∴
          ∴x1x2+y1y2=0，∴x12-y12=0
          ∵x12+4y12=4，∴|x1|=|y1|=
          ∴原點O到直線的距離為d=|x1|=
          ②當直線AB斜率存在時，設直線AB的方程為y=kx+m，代入橢圓方程，消元可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0
          ∴x1+x2=-，x1x2=
          ∵以AB為直徑的圓D經過坐標原點，∴
          ∴x1x2+y1y2=0，∴（1+k2）-km×+m2=0
          ∴5m2=4（k2+1）
          ∴原點O到直線的距離為d==
          綜上，點O到直線AB的距離為定值；
          （2）由（1）可知，在直角△OAB中，點O到直線AB的距離|OH|=，設∠OAH=θ，則∠BOH=θ
          ∴|OA|=，|OB|=
          ∴|OA||OB|=
          ∴2θ=，即時，|OA||OB|取得最小值為
          ∴△AOB面積S的最小值為
          分析：（1）設A（x1，y1），B（x2，y2），分類討論：①當直線AB斜率不存在時，由橢圓的對稱性，可求原點O到直線的距離；②當直線AB斜率存在時，設直線AB的方程為y=kx+m，代入橢圓方程，利用韋達定理及點到直線的距離公式，即可得到結論；
          （2）利用三角函數(shù)表示出|OA|，|OB|，進而可求|OA||OB|的最小值，從而可求△AOB面積S的最小值．
          點評：本題考查橢圓的標準方程，考查圓與橢圓的綜合，聯(lián)立方程，利用韋達定理是解題的關鍵．				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關習題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          （2013•懷化三模）已知橢圓C：
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a＞b＞0)          過點(
          		3
          ，
          		3
          2
          )          ，離心率e=
          1
          2
          ，若點M（x0，y0）在橢圓C上，則點N(
          x0
          a
          ，
          y0
          b
          )          稱為點M的一個“橢點”，直線l交橢圓C于A、B兩點，若點A、B的“橢點”分別是P、Q，且以PQ為直徑的圓經過坐標原點O．
          （1）求橢圓C的方程；
          （2）若橢圓C的右頂點為D，上頂點為E，試探究△OAB的面積與△ODE的面積的大小關系，并證明．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知橢C：
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1（a＞b＞0）的離心率為
          1
          2
          ，橢圓的短軸端點與雙曲線
          y2
          2
          -x2          =1的焦點重合，過P（4，0）且不垂直于x軸直線l與橢圓C相交于A、B兩點．
          （Ⅰ）求橢C的方程；
          （Ⅱ）求
          OA
          •
          OB
          的取值范圍．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓C：
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1          （a＞b＞0）的左、右焦點，D，E是橢圓的兩個頂點，橢圓的離心率e=
          		3
          2
          ，S△DEF2=1-
          		3
          2
          ．若點M（x0，y0）在橢圓C上，則點N（
          x0
          a
          ，
          y0
          b
          ）稱為點M的一個“橢點”．直線l與橢圓交于A，B兩點，A，B兩點的“橢點”分別為P，Q，已知以PQ為直徑的圓經過坐標原點O．
          （1）求橢圓C的標準方程；
          （2）△AOB的面積是否為定值？若為定值，試求出該定值；若不為定值，請說明理由．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          （2011•浦東新區(qū)三模）已知橢圓C的長軸長是焦距的兩倍，其左、右焦點依次為F1、F2，拋物線M：y2=4mx（m＞0）的準線與x軸交于F1，橢圓C與拋物線M的一個交點為P．
          （1）當m=1時，求橢圓C的方程；
          （2）在（1）的條件下，直線l過焦點F2，與拋物線M交于A、B兩點，若弦長|AB|等于△PF1F2的周長，求直線l的方程；
          （3）由拋物線弧y2=4mx(0≤x≤
          2m
          3
          )          和橢圓弧
          x2
          4m2
          +
          y2
          3m2
          =1          (
          2m
          3
          ≤x≤2m)
          （m＞0）合成的曲線叫“拋橢圓”，是否存在以原點O為直角頂點，另兩個頂點A1、A2落在“拋橢圓”上的等腰直角三角形OA1A2，若存在，求出兩直角邊所在直線的斜率；若不存在，說明理由．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：2013年黑龍江省哈爾濱三中高考數(shù)學二模試卷（理科）（解析版）
				題型：解答題
			
          

						
          已知橢圓過點，離心率，若點M（x，y）在橢圓C上，則點稱為點M的一個“橢點”，直線l交橢圓C于A、B兩點，若點A、B的“橢點”分別是P、Q，且以PQ為直徑的圓經過坐標原點O．
          （1）求橢圓C的方程；
          （2）若橢圓C的右頂點為D，上頂點為E，試探究△OAB的面積與△ODE的面積的大小關系，并證明．
          

			
          

			
          
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