Question

已知正三棱錐S-ABC，一個(gè)正三棱柱的一個(gè)底面的三個(gè)頂點(diǎn)在棱錐的三條側(cè)棱上，另一底面在正三棱錐的底面上，若正三棱錐的高為15cm，底面邊長(zhǎng)為12cm，內(nèi)接正三棱柱的側(cè)面積為120cm²，
（1）求正三棱柱的高；
（2）求棱柱上底面截的小棱錐與原棱錐側(cè)面積的比．

Answer 1

（1）設(shè)內(nèi)接正三棱柱的高為 x，底面的邊長(zhǎng)為 a，
由直角三角形相似得

15-x

15

=

2 3 × 3 2 a

2 3 × 3 2 ×12

，
∴a=

60-4x

5

，內(nèi)接正三棱柱的側(cè)面積為：120=3a•x=3

60-4x

5

 x，
x²-15x+50=0，∴x=10 或 x=5．
∴正三棱柱的高為10cm或5cm．
（2）兩個(gè)棱錐的側(cè)面積之比等于對(duì)應(yīng)的相似比的平方，相似比為

15 -x

15

，
當(dāng)x=10 時(shí)，相似比為

1

3

，故兩個(gè)棱錐的側(cè)面積之比等于

1

9

，
當(dāng)x=5時(shí)，相似比為

2

3

，故兩個(gè)棱錐的側(cè)面積之比等于

4

9

，
故棱柱上底面截的小棱錐與原棱錐側(cè)面積的比為：1：9或4：9．