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          精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
          
			
          
				
          已知函數f（x）=x|x-a|+2x．若存在a∈[-3，3]，使得關于x的方程f（x）=tf（a）有三個不相等的實數根，則實數t的取值范圍是（　　）
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          分析：當-2≤a≤2時，f（x）在R上是增函數，則關于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三個不等的實數根；當a∈（2，3]時和當a∈[-3，-2）時，等價轉化f（x）的表達式，利用函數的單調性能得到實數t的取值范圍．
          解答：解：當-2≤a≤2時，f（x）在R上是增函數，
          則關于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三個不等的實數根，…（2分）
          則當a∈（2，3]時，由f（x）=
          x2+(2-a)x，x≥a
          -x2+(2+a)x，x＜a
          ，
          得x≥a時，f（x）=x2+（2-a）x，對稱軸x=
          a-2
          2
          ＜a，
          則f（x）在x∈[a，+∞）為增函數，此時f（x）的值域為[f（a），+∞）=[2a，+∞），
          x＜a時，f（x）=-x2+（2+a）x，對稱軸x=
          a+2
          2
          ＜a，
          則f（x）在x∈（-∞，
          a+2
          2
          ]為增函數，此時f（x）的值域為（-∞，
          (a+2)2
          4
          ]，
          f（x）在x∈[
          a+2
          2
          ，a）為減函數，此時f（x）的值域為（2a，
          (a+2)2
          4
          ]；
          由存在a∈（2，3]，方程f（x）=tf（a）=2ta有三個不相等的實根，
          則2ta∈（2a，
          (a+2)2
          4
          ），
          即存在a∈（2，3]，使得t∈（1，
          (a+2)2
          8a
          ）即可，
          令g（a）=
          (a+2)2
          8a
          =
          1
          8
          （a+
          4
          a
          +4），
          只要使t＜（g（a））max即可，而g（a）在a∈（2，3]上是增函數，
          ∴（g（a））max=g（3）=
          25
          24
          ，
          故實數t的取值范圍為（1，
          25
          24
          ）；…（15分）
          同理可求當a∈[-3，-2）時，t的取值范圍為（1，
          25
          24
          ）；
          綜上所述，實數t的取值范圍為（1，
          25
          24
          ）．…（17分）
          故選B．
          點評：本題考查函數恒成立問題的應用，考查運算求解能力，推理論證能力，考查化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高．
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關習題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數學
				來源：
				題型：
			
          

						
          精英家教網已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
          π
          2
          ）的部分圖象如圖所示，則f（x）的解析式是（　　）
          
                
          A、f(x)=2sin(πx+
          π
          6
          )(x∈R)
          B、f(x)=2sin(2πx+
          π
          6
          )(x∈R)
          C、f(x)=2sin(πx+
          π
          3
          )(x∈R)
          D、f(x)=2sin(2πx+
          π
          3
          )(x∈R)
          

			
          

			
          
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				科目：高中數學
				來源：
				題型：
			
          

						
          （2012•深圳一模）已知函數f(x)=
          1
          3
          x3+bx2+cx+d          ，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
          （1）求f（x）；
          （2）設g(x)=x
          		f′(x)
           ， m＞0          ，求函數g（x）在[0，m]上的最大值；
          （3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數t的取值范圍．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數學
				來源：
				題型：
			
          

						
          （2011•上海模擬）已知函數f(x)=(
          x
          a
          -1)2+(
          b
          x
          -1)2，x∈(0，+∞)          ，其中0＜a＜b．
          （1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
          （2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數m的取值范圍；
          （3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
          求證：f1(x)+f2(x)＞
          4c2
          k(k+c)
          ．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數學
				來源：上海模擬
				題型：解答題
			
          

						
          已知函數f(x)=(
          x
          a
          -1)2+(
          b
          x
          -1)2，x∈(0，+∞)          ，其中0＜a＜b．
          （1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
          （2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數m的取值范圍；
          （3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
          求證：f1(x)+f2(x)＞
          4c2
          k(k+c)
          ．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數學
				來源：深圳一模
				題型：解答題
			
          

						
          已知函數f(x)=
          1
          3
          x3+bx2+cx+d          ，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
          （1）求f（x）；
          （2）設g(x)=x
          		f′(x)
           ， m＞0          ，求函數g（x）在[0，m]上的最大值；
          （3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數t的取值范圍．
          

			
          

			
          
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