Question

（2012•南京二模）設(shè)向量

a

=（2，sinθ），

b

=（1，cosθ），θ為銳角．
（1）若

a

•

b

=

13

6

，求sinθ+cosθ的值；
（2）若

a

∥

b

，求sin（2θ+

π

3

）的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標公式列式并化簡，得sinθcosθ=

1

6

．再由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，可得（sinθ+cosθ）²的值，結(jié)合θ為銳角，開方即得sinθ+cosθ的值；
（2）根據(jù)兩個向量平行的充要條件列式，化簡得tanθ=2．再由二倍角的正、余弦公式，結(jié)合弦化切的運算技巧，算出sin2θ和cos2θ的值，最后根據(jù)兩角和的正弦公式，可得sin（2θ+

π

3

）的值．

解答：解：（1）∵

a

•

b

=2+sinθcosθ=

13

6

，∴sinθcosθ=

1

6

．    …（2分）
∴（sinθ+cosθ）²=1+2sinθcosθ=

4

3

．
又∵θ為銳角，∴sinθ+cosθ=

2 3

3

（舍負）．               …（5分）
（2）∵

a

∥

b

，
∴2×cosθ=sinθ×1，可得tanθ=2．　　　            …（7分）
∴sin2θ=2sinθcosθ=

2sinθcosθ

sin2θ+cos2θ

=

2tanθ

tan2θ+1

=

4

5

，
cos2θ=cos²θ-sin²θ=

cos2θ-sin2θ

sin2θ+cos2θ

=

1-tan2θ

tan2θ+1

=-

3

5

．…（11分）
所以sin（2θ+

π

3

）=

1

2

sin2θ+

3

2

cos2θ=

1

2

×

4

5

+

3

2

×（-

3

5

 ）=

4-3 3

10

．          …（14分）

點評：本題以平面向量數(shù)量積運算為載體，考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正余弦公式和兩角和的正弦公式等知識，屬于中檔題．