Question

已知實(shí)數(shù)a滿足0＜a≤2，a≠1，設(shè)函數(shù)f （x）＝x³－x²＋ax．

（Ⅰ）當(dāng)a＝2時(shí)，求f （x）的極小值；

（Ⅱ）若函數(shù)g（x）＝x³＋bx²－（2b＋4）x＋ln x （b∈R）的極小值點(diǎn)與f （x）的極小值點(diǎn)相同．求證：g（x）的極大值小于等于．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）見解析

【解析】(I)當(dāng)a=2時(shí)，求導(dǎo)利用導(dǎo)數(shù)求極小值即可.極值點(diǎn)左側(cè)值為負(fù)，右側(cè)值為正，則為極小值點(diǎn).

（II）分別利用導(dǎo)數(shù)求出g(x)和f(x)的極小值，根據(jù)極小值點(diǎn)相等，得到a,b的等式關(guān)系，

從而可,然后根據(jù)g（x）_極大值＝g（1）＝1＋b－（2b＋4）＝－3－b

＝－3＋ ＝,,令,,顯然F(a)是單調(diào)增函數(shù)，從而可知其最大值，再證明F（a）的最大值，問(wèn)題得證.

解：（Ⅰ） 解: 當(dāng)a＝2時(shí)，f ′（x）＝x²－3x＋2＝（x－1）（x－2）．

    列表如下：

x	（－，1）	1	（1，2）	2	（2，＋）
f ′（x）	＋	0	－	0	＋
f （x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

所以，f （x）極小值為f （2）＝．          …………………………………5分

（Ⅱ） 解：f ′（x）＝x²－（a＋1）x＋a＝（x－1）（x－a）．

g ′（x）＝3x²＋2bx－（2b＋4）＋＝．

令p（x）＝3x²＋（2b＋3）x－1，

（1） 當(dāng) 1＜a≤2時(shí)，

f （x）的極小值點(diǎn)x＝a，則g（x）的極小值點(diǎn)也為x＝a，

所以p(a)＝0，

即3a²＋（2b＋3）a－1＝0，

即b＝，

此時(shí)g（x）_極大值＝g（1）＝1＋b－（2b＋4）＝－3－b

＝－3＋ ＝．

由于1＜a≤2，

故 ≤2－－＝．………………………………10分

（2） 當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f （x）的極小值點(diǎn)x＝1，則g（x）的極小值點(diǎn)為x＝1，

由于p（x）＝0有一正一負(fù)兩實(shí)根，不妨設(shè)x₂＜0＜x₁，所以0＜x₁＜1，

即p（1）＝3＋2b＋3－1＞0，故b＞－．

此時(shí)g（x）的極大值點(diǎn)x＝x₁，

有 g（x₁）＝x₁³＋bx₁²－（2b＋4）x₁＋lnx₁＜1＋bx₁²－（2b＋4）x₁

＝（x₁²－2x₁）b－4x₁＋1　  （x₁²－2x₁＜0）

＜－（x₁²－2x₁）－4x₁＋1

＝－x₁²＋x₁＋1＝－（x₁－）²＋1＋   （0＜x₁＜1）≤＜．

綜上所述，g（x）的極大值小于等于．    ……………………14分