Question

某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是

4π

3

；
（實(shí)驗(yàn)班必做題）
函數(shù)f（x）=ax³-3x+1對于x∈[-1，1]總有f（x）≥0 成立，則a=

（1，4]

．

Answer 1

分析：（1）由三視圖可知：該幾何體是由上下兩部分組成，上面是一個(gè)圓錐，其高為2，底面半徑為1；下面是一個(gè)與圓錐底面同底的半球，半徑為1．據(jù)此即可計(jì)算出答案；
（2）利用導(dǎo)數(shù)和分類討論方法即可求出．

解答：解：（1）由三視圖可知：該幾何體是由上下兩部分組成，上面是一個(gè)圓錐，其高為2，底面半徑為1；下面是一個(gè)與圓錐底面同底的半球，半徑為1．
∴V=

1

3

×π×12×2+

1

2

×

4

3

π×13=

4π

3

；
（2）利用分類討論方法：
函數(shù)f（x）=ax³-3x+1對于x∈[-1，1]總有f（x）≥0 成立?[f（x）]_min≥0，x∈[-1，1]．
由已知可得：f^′（x）=3ax²-3，
①當(dāng)a≤0時(shí)，f^′（x）＜0，∴函數(shù)f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減，∴[f（x）]_min=f（1）=a-2≥0，解得a≥2，與a≤0矛盾，故舍去；
②當(dāng)0＜a≤1時(shí)，

1

a

≥1，由x∈[-1，1]可得f′(x)=3a(x+

1

a

)(x-

1

a

)≤0，即函數(shù)f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減，∴[f（x）]_min=f（1）=a-2≥0，解得a≥2，無解；
③當(dāng)a＞1時(shí)，0＜

1

a

＜1，由x∈[-1，1]可得f′(x)=3a(x+

1

a

)(x-

1

a

)≥0，即函數(shù)f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增，∴[f（x）]_min=f（-1）=4-a≥0，解得a≤4，∴1＜a≤4；
綜上可知：1＜a≤4．

點(diǎn)評：由三視圖正確恢復(fù)原幾何體和熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．