Question

【題目】已知數(shù)列滿足，且.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求滿足的所有正整數(shù)的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）所有正整數(shù)的值為2，3，4，5

【解析】

（1）先根據(jù)題中的遞推關(guān)系式求得的值，得到，再利用求解，也可利用累乘法進(jìn)行求解；

（2）先根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和之間的關(guān)系求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得到，再利用錯(cuò)位相減法求，最后根據(jù)的增減性求解即可.

（1）解法一由①，

得當(dāng)時(shí)，，又，所以，

當(dāng)時(shí)，②，

①-②，得，，即.

所以，

所以.

又也符合上式，所以.

解法二由①，

得當(dāng)時(shí)，，又，所以，

當(dāng)時(shí)，②，

①-②，得，即.

又也符合上式，所以，所以，

所以，

故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.

（2）由③，

得當(dāng)時(shí)，④，

③-④得，所以，

所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，

所以，

所以，

所以，

所以，

兩式相減得，

所以.

所以，

所以數(shù)列遞增.

又，，，，

所以滿足的所有正整數(shù)的值為2，3，4，5.