Question

（1）一個(gè)半徑為r的扇形，若它的周長(zhǎng)等于弧所在的半圓的長(zhǎng)，那么扇形的圓心角是多少弧度？是多少度？扇形的面積是多少？

（2）一扇形的周長(zhǎng)為20 cm，當(dāng)扇形的圓心角等于多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？

Answer 1

（1）-2，65°26′扇形的面積為S=r²=（-2）r²

（2）當(dāng)=2 rad時(shí)，扇形的面積取最大值

解析:

（1）設(shè)扇形的圓心角是rad，因?yàn)樯刃蔚幕￠L(zhǎng)是r,

所以扇形的周長(zhǎng)是2r+r.

依題意，得2r+r=r,

∴=-2=(-2)×

≈1.142×57.30°≈65.44°≈65°26′,

∴扇形的面積為S=r²=（-2）r².

（2）設(shè)扇形的半徑為r，弧長(zhǎng)為l，則l+2r=20,

即l=20-2r (0＜r＜10)                                           ①

扇形的面積S=lr，將①代入，得

S=(20-2r)r=-r²+10r=-(r-5)²+25,

所以當(dāng)且僅當(dāng)r=5時(shí)，S有最大值25.此時(shí)

l=20-2×5=10,==2.

所以當(dāng)=2 rad時(shí)，扇形的面積取最大值.