Question

已知f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函數(shù)．
（1）求k的值；
（2）證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)b，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=

1

2

x+b最多只有一個(gè)交點(diǎn)；
（3）設(shè)g(x)=log4(a•2x-

4

3

a)，若函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)偶函數(shù)可知f（x）=f（-x），取x=-1代入即可求出k的值；
（2）由（1）中結(jié)論，可以得到函數(shù)的解析式，構(gòu)造函數(shù)y=log₄（4^x+1）-x，分析出函數(shù)的單調(diào)性及值域，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的判定方法，我們易確定b取不同值時(shí)，函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，進(jìn)而得到答案．
（3）函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則方程f（x）=g（x）有且只有一個(gè)實(shí)根，化簡可得 2x+

1

2x

=a•2x-

4

3

a有且只有一個(gè)實(shí)根，令t=2^x＞0，則轉(zhuǎn)化才方程 (a-1)t2-

4

3

at-1=0有且只有一個(gè)正根，討論a=1，以及△=0與一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，三種情形，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函數(shù)．
∴f（-x）=f（x）
即log₄（4^-x+1）-kx=log₄（4^x+1）+kx
即log₄（4^x+1）-（k+1）x=log₄（4^x+1）+kx
即2k+1=0
∴k=-

1

2

證明：（2）由（1）得f（x）=log₄（4^x+1）-

1

2

x
令y=log₄（4^x+1）-x
由于y=log₄（4^x+1）-x為減函數(shù)，且恒為正
故當(dāng)b＞0時(shí)，y=log₄（4^x+1）-x-b有唯一的零點(diǎn)，此時(shí)函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=

1

2

x+b有一個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)b≤0時(shí)，y=log₄（4^x+1）-x-b沒有零點(diǎn)，此時(shí)函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=

1

2

x+b沒有交點(diǎn)
故對(duì)任意實(shí)數(shù)b，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=

1

2

x+b最多只有一個(gè)交點(diǎn)；
（3）函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)
即方程 log4(4x+1)-

1

2

x=log4(a•2x-

4

3

a)有且只有一個(gè)實(shí)根
化簡得：方程 2x+

1

2x

=a•2x-

4

3

a有且只有一個(gè)實(shí)根
令t=2^x＞0，則方程 (a-1)t2-

4

3

at-1=0有且只有一個(gè)正根
①a=1⇒t=-

3

4

，不合題意；
②△=0⇒a=

3

4

或-3
若 a=

3

4

⇒t=-

1

2

，不合題意；若 a=-3⇒t=

1

2

③若一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，則

-1

a-1

＜0，即a＞1時(shí)，滿足題意．
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|a＞1或a=-3}

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了偶函數(shù)的性質(zhì)，以及對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，同時(shí)考查了分類討論的思想，由于綜合考查了多個(gè)函數(shù)的難點(diǎn)，屬于難題．