Question

已知三棱錐A-BCD的棱長均為a，E為AD的中點，連接CE．
（1）請作出AO⊥面BCD于O，則O是△BCD的外心嗎？
（2）求二面角A-CD-B的平面角的余弦值．
（3）求CE與底面BCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）要說明O為△BCD為外心，只需說明OB=OC=OD，而AO⊥平面BCD，也就只要這么AB=AC=AD即可，作AO⊥平面BCD，垂足為O，O三角形BCD的中心，連接DO作EO₁⊥OD交OD于O₁點，連接CO₁，即可得到結論；
（2）作AF⊥CD交CD于F，連接OF，根據(jù)二面角的平面角的定義可知∠AFO為二面角A-CD-B的平面角，在Rt△AOF中求出此角的余弦值即可；
（3）根據(jù)線面垂直的判定定理可知EO₁⊥平面BCD，從而∠ECO₁是CE與平面BCD所成的角，在Rt△EO₁C中，求出此角的正弦值即可．

解答：解：（1）作AO⊥平面BCD，垂足為O，O三角形BCD的中心．
連接DO作EO₁⊥OD交OD于O₁點，連接CO₁
∵AB=AC=AD=a，AO⊥平面BCD∴O為△BCD為外心
（2）作AF⊥CD交CD于F，連接OF．
∵AO⊥平面BCD∴AO⊥CD
又∵AF⊥CD∴CD⊥平面AFO
∴CD⊥OF∴∠AFO為二面角A-CD-B的平面角．
在Rt△AOF中AF=

3

2

a，AO=

6

3

a
∴cos∠AFO=

1

3

．
（3）∴OD=

2

3

×

3

2

a=

3

3

a∴在Rt△AOD中，AO=

a2-( 3 3 a)2

=

6

3

a
∵AE=DE，EO₁∥AO∴EO₁=

1

2

AO=

6

6

a
∵AO⊥平面BCD，EO₁∥AO∴EO₁⊥平面BCD
∴∠ECO₁是CE與平面BCD所成的角
在Rt△EO₁C中，sin∠ECO₁=

EO1

CE

=

6 6 a

3 2 a

=

2

3

點評：本題主要考查了二面角的度量，以及線面所成角，同時考查了空間想象能力，推理能力和計算能力，屬于中檔題．