Question

如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．點E、F分別在邊CD、CB上，點E與點C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O．沿EF將△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED．

（1）求證：BD⊥平面POA；
（2）設(shè)點Q滿足，試探究：當(dāng)PB取得最小值時，直線OQ與平面PBD所成角的大小是否一定大于？并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用菱形ABCD的對角線互相垂直證明BD⊥AO，證明PO⊥平面ABFED，可得PO⊥BD，利用線面垂直的判定，可得
BD⊥平面POA；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，設(shè)PO=x，求出時，，此時，進一步求點Q的坐標(biāo)，求出平面PBD的法向量，利用向量的夾角公式，可證直線OQ與平面E所成的角大于．
解答：（1）證明：∵菱形ABCD的對角線互相垂直，∴BD⊥AC，∴BD⊥AO，
∵EF⊥AC，∴PO⊥EF．
∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED=EF，且PO?平面PEF，
∴PO⊥平面ABFED，
∵BD?平面ABFED，∴PO⊥BD．
∵AO∩PO=O，∴BD⊥平面POA．…（4分）
（2）解：如圖，以O(shè)為原點，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．
設(shè)AO∩BD=H．因為∠DAB=60°，所以△BDC為等邊三角形，
故BD=4，．
又設(shè)PO=x，則，，所以O(shè)（0，0，0），P（0，0，x），，
故，
所以，
當(dāng)時，．此時，…（6分）
設(shè)點Q的坐標(biāo)為（a，0，c），由（1）知，，則，，，．
∴，，
∵，∴．            
∴，∴．   （10分）
設(shè)平面PBD的法向量為，則．
∵，，∴
取x=1，解得：y=0，z=1，所以．…（8分）
設(shè)直線OQ與平面E所成的角θ，
∴=．…（10分）
又∵λ＞0∴．∵，∴．
因此直線OQ與平面E所成的角大于，即結(jié)論成立．…（12分）
點評：本題考查線面垂直，考查線面角，考查利用空間向量解決立體幾何問題，確定平面的法向量是關(guān)鍵．