Question

將邊長(zhǎng)為2，一個(gè)內(nèi)角為60°的菱形ABCD沿較短對(duì)角線BD折成四面體ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AC，BD的中點(diǎn)，則下列命題中正確的是    ．
①EF∥AB；
②EF⊥BD；
③EF有最大值，無(wú)最小值；
④當(dāng)四面體ABCD的體積最大時(shí)，； 
⑤AC垂直于截面BDE．

Answer 1

【答案】分析：畫出圖形，利用翻折前后線面關(guān)系，角的關(guān)系，逐一分析各個(gè)選項(xiàng)的正確性，把正確的選項(xiàng)找出來(lái)．
解答：解：如圖：由題意得，EF與AB是異面直線，故①不正確．
由等腰三角形的中線性質(zhì)得 CF⊥BD，AF⊥BD，DB⊥面ACF，又EF?面ACF，
∴EF⊥BD，故②正確．
EF是等腰三角形FAC的底邊上的中線，∴EF⊥AC，由于 FA=FC=，斜邊AC的長(zhǎng)度不定，
故 EF無(wú)最大值，也無(wú)最小值，故③不正確．
當(dāng)四面體ABCD的體積最大時(shí)，因?yàn)榈冗叀鰽BD的面積為定值，故面SBD⊥面ABD，CF為四面體的高，AC===，故④正確．
由DB⊥面ACF 得，DB⊥AC，又EF⊥AC，∴AC⊥面EBD，故⑤正確．
綜上，②④⑤正確，
故答案為 ②④⑤．
點(diǎn)評(píng)：本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，注意在翻折過(guò)程中哪些量發(fā)生了變化，哪些量沒(méi)有發(fā)生變化；位于折線同側(cè)的元素關(guān)系不變，
位于折線兩側(cè)的元素關(guān)系會(huì)發(fā)生變化．