【題目】已知橢圓與拋物線
共焦點(diǎn)
,拋物線上的點(diǎn)M到y軸的距離等于
,且橢圓與拋物線的交點(diǎn)Q滿足
.
(I)求拋物線的方程和橢圓的方程;
(II)過拋物線上的點(diǎn)作拋物線的切線
交橢圓于
、
兩點(diǎn),求此切線在x軸上的截距的取值范圍.
【答案】(I). (II)
.
【解析】試題分析:(I)根據(jù)拋物線上的點(diǎn)M到y軸的距離等于,可知點(diǎn)M到直線
的距離等于點(diǎn)M到焦點(diǎn)
的距離,由此求得
且
.由拋物線的定義及
可求得
點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)橢圓的定義求出
,并由此求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(II)聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程,利判別式等于零得到
的一個等量關(guān)系.聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程,利用判別式大于零求得
的取值范圍.求出截距的表達(dá)式,利用
得取值范圍可求得截距的取值范圍.
試題解析:
(I)∵拋物線上的點(diǎn)M到y軸的距離等于,
∴點(diǎn)M到直線的距離等于點(diǎn)M到焦點(diǎn)
的距離,
得是拋物線
的準(zhǔn)線,即
,
解得,∴拋物線的方程為
;
可知橢圓的右焦點(diǎn),左焦點(diǎn)
,
由拋物線的定義及,得
,
又,解得
,
由橢圓的定義得
,
∴,又
,得
,
∴橢圓的方程為.
(II)顯然,
,
由,消去x,得
,
由題意知,得
,
由,消去y,得
,
其中
,
化簡得,又
,得
,解得
,
切線在x軸上的截距為,又
,
∴切線在x軸上的截距的取值范圍是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)y=x2+(a+2)x﹣3,x∈[a,b]的圖象關(guān)于直線x=1對稱.
(1)求a、b的值和函數(shù)的零點(diǎn)
(2)當(dāng)函數(shù)f(x)的定義域是[0,3]時,求函數(shù)f(x)的值域..
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】根據(jù)國家環(huán)保部最新修訂的《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定:居民區(qū)PM2.5的年平均濃度不得超過35微克/立方米,PM2.5的24小時平均濃度不得超過75微克/立方米。某城市環(huán)保部分隨機(jī)抽取的一居民區(qū)過去20天PM2.5的24小時平均濃度的監(jiān)測數(shù)據(jù),數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下:
組別 | PM2.5平均濃度 | 頻數(shù) | 頻率 |
第一組 | (0,25] | 3 | 0.15 |
第二組 | (25,50] | 12 | 0.6 |
第三組 | (50,75] | 3 | 0.15 |
第四組 | (75,100] | 2 | 0.1 |
(Ⅰ)從樣本中PM2.5的24小時平均濃度超過50微克/立方米的5天中,隨機(jī)抽取2天,求恰好有一天PM2.5的24小時平均濃度超過75微克/立方米的概率;
(II)求樣本平均數(shù),并根據(jù)樣本估計(jì)總計(jì)的思想,從PM2.5的年平均濃度考慮,判斷該居民區(qū)的環(huán)境是否需要改進(jìn)?并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬元,每生產(chǎn)千件,需另投入成本為
,當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時,
(萬元).當(dāng)年產(chǎn)量不小于80千件時,
(萬元).每件商品售價為0.05萬元.通過市場分析,該廠生產(chǎn)的商品能全部售完.
(Ⅰ)寫出年利潤(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量
(千件)的函數(shù)解析式;
(Ⅱ)年產(chǎn)量為多少千件時,該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分10分)已知是公差不為零的等差數(shù)列,
,且
成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng);
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某玩具生產(chǎn)公司每天計(jì)劃生產(chǎn)衛(wèi)兵、騎兵、傘兵這三種玩具共個,生產(chǎn)一個衛(wèi)兵需
分鐘,生產(chǎn)一個騎兵需
分鐘,生產(chǎn)一個傘兵需
分鐘,已知總生產(chǎn)時間不超過
小時,若生產(chǎn)一個衛(wèi)兵可獲利潤
元,生產(chǎn)一個騎兵可獲利潤
元,生產(chǎn)一個傘兵可獲利潤
元.
(1)用每天生產(chǎn)的衛(wèi)兵個數(shù)與騎兵個數(shù)
表示每天的利潤
(元);
(2)怎么分配生產(chǎn)任務(wù)才能使每天的利潤最大,最大利潤是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知下圖中,四邊形 ABCD是等腰梯形, ,
,O、Q分別為線段AB、CD的中點(diǎn),OQ與EF的交點(diǎn)為P,OP=1,PQ=2,現(xiàn)將梯形ABCD沿EF折起,使得
,連結(jié)AD、BC,得一幾何體如圖所示.
(Ⅰ)證明:平面ABCD平面ABFE;
(Ⅱ)若上圖中, ,CD=2,求平面ADE與平面BCF所成銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖:在四棱錐中,底面
是菱形,
,
平面
,點(diǎn)
為
的中點(diǎn),且
.
(1)證明: 面
;
(2)求三棱錐的體積;
(3)在線段上是否存在一點(diǎn)
,使得
平面
;若存在,求出
的長;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)是等差數(shù)列
的前
項(xiàng)和,已知
,
,
.
(1)求;
(2)若數(shù)列,求數(shù)列
的前
項(xiàng)和
.
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