Question

如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=2，分別過(guò)A，C作平面ABC的垂線AA′和CC′，AA′=2，CC′=1，連接A′C和AC′交于點(diǎn)P，M為BC邊上的點(diǎn)，CM=

2

3

．
（I）求證：直線PM∥平面A′AB；
（II）求直線MP與平面A′AC所成的角．

Answer 1

分析：（I）利用成比列線段證明 PM∥A′B，從而證明 PM∥面AA′B．
（II） PM 與面AA′C成的角即為A′B與面AA′C成的角，設(shè)AC的中點(diǎn)為O，∴∠BA′O 即為直線MP與平面A′AC所成的角，由tan∠BA′O=

BO

OA′

 求出∠BA′O 的大小．

解答：解：（I）證明：∵AA′⊥平面ABC，∴CC′⊥平面ABC，∴AA′∥CC′，∴

A′P

PC

= 

A′A

C′C

 = 

2

1

．
又∵CM=

2

3

，BC=2，∴

BM

MC

=2，∴PM∥A′B．又 A′B?面AA′B，
PM不在面AA′B內(nèi)，∴PM∥面AA′B．
（II）由（I）知，PM∥A′B，∴PM 與面AA′C成的角即為A′B與面AA′C成的角，設(shè)AC的中點(diǎn)為O，
Rt△ABC中，BA=BC=2，∴BO⊥AC，且 BO=

2

．∵AA′⊥面ABC，∴面AA′C⊥面ABC，
又∵面AA′C∩面ABC=AC，∴BO⊥面ABC，∴∠BA′O 即為直線MP與平面A′AC所成的角．
∵AO=

2

，A′A=2，∴A′O=

6

，∴tan∠BA′O=

BO

OA′

=

3

3

，∴∠BA′O=30°．
故直線MP與平面A′AC所成的角為30°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查證明線面平行的方法，求直線和平面成的角，找出直線和平面成的角是解題的關(guān)鍵．