Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx（a，b∈R），已知曲線y=f（x）在點(diǎn)M（-1，f（-1））處的切線方程是y=4x+3．
（1）求a，b的值；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，2]的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和幾何意義可得

f′(-1)=3-2a+b=4 f(-1)=-1+a-b=-1

，解出即可；
（2）利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則得出f′（x），在區(qū)間[-2，2]上分別解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得出單調(diào)區(qū)間、極值與最值．

解答：解：（1）f'（x）=3x²+2ax+b，
∵曲線y=f（x）在點(diǎn)M（-1，f（-1））處的切線方程是y=4x+3．
∴

f′(-1)=3-2a+b=4 f(-1)=-1+a-b=-1

，
解得

a=-1 b=-1

．
（2）由（1）可知：f（x）=x³-x²-x，
∴f'（x）=3x²-2x-1=（x-1）（3x+1），
令f'（x）＞0，得x＜-

1

3

或x＞1；
令f'（x）＜0，得-

1

3

＜x＜1
所以f（x）的遞增區(qū)間為[-2，-

1

3

)，（1，2]，遞減區(qū)間為(-

1

3

，1)．
而f(-

1

3

)=

5

27

，f（2）=2，
所以f（x）的最大值為2．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值等是解題的關(guān)鍵．