Question

三棱錐P—ABC中，△PAC是邊長為4的等邊三角形，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，平面PAC⊥平面ABC，D、E分別為AB、PB的中點.

（1）求證：AC⊥PD；

（2）求二面角E—AC—B的正切值；

（3）求三棱錐P—CDE與三棱錐P—ABC的體積之比.

Answer 1

（1）見解析（2）（3）

解析:

（1）取AC中點O，∵△PAC為等邊三角形，∴PO⊥AC，

又∵面PAC⊥面ABC，PO面PAC，

∴PO⊥面ABC，連結OD，則OD//BC，

∴DO⊥AC，

由三垂線定理知AC⊥PD.

（2）連接OB，過E作EF⊥OB于F，

又∵面POB⊥面ABC，∴EF⊥面ABC，

過F作FG⊥AC，連接EG，由三垂線定理知EG⊥AC，

∴∠EGF即為二面角E—AC—B的平面角

在在

∴ 

（3）由題意知

又

即.