Question

（2009•河西區(qū)二模）一個袋中裝有大小相同的白球和黑球共10個，已知從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是

13

15

．
（I）求原來袋中白球的個數(shù)；
（Ⅱ）從原來袋中任意摸出3個球，記得到黑球的個數(shù)為ξ，求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析：（I）解法一：設袋中有白球x個，由題意得

C 1 x C 1 10-x + C 2 x

C 2 10

=

13

15

，解方程可得答案
解法二：設黑球有x個，則全是黑球的概率為

2

15

，由

C 2 x

C 2 10

=

2

5

，解方程可得答案
（II）根據(jù)（I）中結(jié)論，可得ξ取值可能為0，1，2，3，求出變量的分布列后，代入期望公式，可得答案．

解答：解法一：（I）設袋中有白球x個，由題意得

C 1 x C 1 10-x + C 2 x

C 2 10

=

13

15

，
即x(10-x)+

x(x-1)

2

=39
解得x=6或x=13（舍），故有白球6個
解法二（I）設黑球有x個，則全是黑球的概率為

2

15

，由

C 2 x

C 2 10

=

2

5

即x（x-1）=12，解得x=4或x=-3（舍），故有黑球4個，白球6個
（Ⅱ）P(ξ=0)=

C 3 6

C 3 10

=

1

6

，P(ξ=1)=

C 2 6 C 1 4

C 3 10

=

1

2

，P(ξ=2)=

C 1 6 C 2 4

C 3 10

=

3

10

，
P(ξ=3)=

C 3 4

C 3 10

=

1

30

故分布列為

ξ	0	1	2	3
P	1 6	1 2	3 10	1 30

數(shù)學期望Eξ=

1

6

×0+

1

2

×1+

3

10

×2+

1

30

×30=

6

5

點評：本題考查的知識點是離散型隨機變量的分布列及數(shù)學期望，等可能事件的概率，其中求出白球的個數(shù)是解答的關鍵．