Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

-

1

2x+1

（1）證明：f（x）為奇函數(shù)
（2）證明：f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的定義域，判斷定義域是否關于原點對稱，再判斷f（-x）與f（x）的關系，根據(jù)奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，即可證明f（x）為奇函數(shù)；
（2）設x₁＜x₂，作差f（x₂）-f（x₁），化簡到能判斷符號為止，根據(jù)f（x₂）-f（x₁）的符號，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義，即可證明f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)．

解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=

1

2

-

1

2x+1

，
∴f（x）的定義域為R，關于原點對稱，
又∵f（-x）=

1

2

-

1

2-x+1

=

1

2

-

1

1 2x +1

=

1

2

-

2x

2x+1

=

1

2

-

2x+1-1

2x+1

=

1

2x+1

-

1

2

=-（

1

2

-

1

2x+1

）=-f（x），
根據(jù)奇函數(shù)的定義，可得f（x）為奇函數(shù)，
（2）設x₁＜x₂，
∴f（x₂）-f（x₁）=

1

2

-

1

2x2+1

-

1

2

+

1

2x1+1

=

1

2x1+1

-

1

2x2+1

=

2x2+1-(2x1+1)

(2x2+1)(2x1+1)

=

2x2-2x1

(2x2+1)(2x1+1)

，
∵x₁＜x₂，
∴2x2-2x1＞0，2x2+1＞0，2x1+1＞0，
∴

2x2-2x1

(2x2+1)(2x1+1)

＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)．

點評：本題考查了函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明．奇偶性的判斷一般應用奇偶性的定義和圖象，要注意先考慮函數(shù)的定義域是否關于原點對稱．函數(shù)單調(diào)性的證明一般選用定義法證明，證明的步驟是：設值，作差，化簡，定號，下結(jié)論．屬于中檔題．