Question

已知分別以d₁，d₂為公差的等差數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足a₁=18，b₁₄=36．
（1）若d₁=18，且存在正整數(shù)m，使得a_m²=b_m+14-45，求證：d₂＞108；
（2）若a_k=b_k=0，且數(shù)列a₁，a₂，…，a_k，b_k+1，b_k+2，…，b₁₄的前n項(xiàng)和S_n滿足S₁₄=2S_k，求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）在（2）的條件下，令cn=2an，dn=2bn，問不等式c_nd_n+1≤c_n+d_n是否對(duì)n∈N^*恒成立？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式分別表示出a_m和b_m+14，代入a_m²=b_m+14-45，求得 d2=182m+

9

m

，根據(jù)均值不等式求得d₂的范圍，原式得證．
（2）根據(jù)S₁₄=2S_k得：S_k=S₁₄-S_k，再根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，進(jìn)而求得d₁和d₂，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)而求得a_n和b_n的通項(xiàng)公式．
（3）在（2）的條件下，求出c_n=2^20-2n=4^10-n，d_n=2^9n-90=512^n-10，判斷出數(shù)列{c_n}單調(diào)減；{d_n}單調(diào)增，對(duì)n分三種情況進(jìn)行討論，求出（c_n-1）（d_n-1）≤0恒成立．

解答：解：（1）依題意，[18+（m-1）×18]²=36+（m+14-14）d₂-45，
即（18m）²=md₂-9，即d2=182m+

9

m

≥2

182×9

=108；
等號(hào)成立的條件為182m=

9

m

，即m=

1

6

，
∵m∈N^*，∴等號(hào)不成立，
∴原命題成立．
（2）由S₁₄=2S_k得：S_k=S₁₄-S_k，即：

18+0

2

×k=

36+0

2

×(14-k+1)，
則9k=18×（15-k），得k=10d1=

0-18

9

=-2，d2=

36-0

14-10

=9，
則a_n=-2n+20，b_n=9n-90；
（3）在（2）的條件下，cn=2an，dn=2bn，
要使c_nd_n+1≤c_n+d_n，即要滿足（c_n-1）（d_n-1）≤0，
又c_n=2^20-2n=4^10-n，d_n=2^9n-90=512^n-10，
∴數(shù)列{c_n}單調(diào)減；{d_n}單調(diào)增，
①當(dāng)正整數(shù)n＜10時(shí)，c_n-1＞0，d_n-1＜0，（c_n-1）（d_n-1）＜0；
②當(dāng)正整數(shù)n＞10時(shí)，c_n-1＜0，d_n-1＞0，（c_n-1）（d_n-1）＜0；
③當(dāng)正整數(shù)n=10時(shí)，c_n-1=0，d_n-1=0，（c_n-1）（d_n-1）=0，
綜上所述，對(duì)n∈N₊，不等式c_nd_n+1≤c_n+d_n恒成立．

點(diǎn)評(píng)：解決等差數(shù)列、等比數(shù)列兩個(gè)特殊數(shù)列的有關(guān)問題時(shí)，一般利用它們的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式列出方程組，求出基本量再解決．