Question

【題目】在如圖所示的多面體中，已知， ， 是正三角形， ， ， 是的中點(diǎn).

（1）求證： 平面；

（2）求證：平面平面；

（3）求到平面的距離.

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）D到平面BCE的距離為.

【解析】【試題分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，利用三角形的中位線，可證得，即四邊形為平行四邊形，所以，所以平面.（2）通過(guò)計(jì)算證明，而，故平面，故，也即，結(jié)合可知平面，也即平面，故平面平面.（3）連接，由（2）的結(jié)論，易知就是所求的距離.

【試題解析】

（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連接，因為的中點(diǎn)，

所以，又AB ,

所以，四邊形為平行四邊形，

所以MB//AF,

因?yàn)?/span>平面， 平面，

所以平面

（Ⅱ）因?yàn)?/span>是正三角形，所以,

在中， ，

所以，故，

∴DE⊥AC，又DE⊥AD,AC∩AD=A

∴DE⊥平面ACD

∴DE⊥AF,又AF⊥CD，由（Ⅰ）得BM∥AF

∴DE⊥BM, BM⊥CD，DE∩CD=D

∴BM⊥平面CDE，BM平面BCE

∴平面BCE⊥平面CDE

（Ⅲ）連接DM，由于DE=DC

∴DM⊥CE

由（Ⅱ）知，平面BCE⊥平面CDE，

∴DM⊥平面BCE

所以DM為D到平面BCE的距離，DM=

所以D到平面BCE的距離為