Question

如圖，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，且AB=BC=CA=

3

，AD=CD=1．
（1）求證：BD⊥AA₁；
（2）若E為棱BC上的一點，且AE∥平面DCC₁D₁，求線段BE的長度．

Answer 1

分析：（1）取AC的中點O，易證得B、O、D三點共線，進而BD⊥AC，由平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，結合面面垂直的性質(zhì)定理可得BD⊥平面AA₁C₁C，再由線面垂直的性質(zhì)得到BD⊥AA₁；
（2）由AE∥平面DCC₁D₁，結合線面平行的性質(zhì)定理可得AE∥CD，結合已知及等邊三角形三線合一，可得E為BC的中點，進而得到線段BE的長度．

解答：證明：（1）取AC的中點O，連接DO，BO
由AD=CD，AB=BC可得
DO⊥AC，BO⊥AC，
故B、O、D三點共線
即BD⊥AC，
又∵平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，平面AA₁C₁C∩平面ABCD=AC，BD?平面ABCD
∴BD⊥平面AA₁C₁C
又∵AA₁?平面AA₁C₁C
∴BD⊥AA₁；
解：（2）∵AB=BC=CA=

3

，AD=CD=1
故∠DCA=∠DAC=30°，△ABC為等邊三角形
∵AE∥平面DCC₁D₁，
AE?平面ABCD，平面ABCD∩平面DCC₁D₁=CD
故AE∥CD，故∠CAE=30°
根據(jù)等邊三角形三線合一，可得AE為△ABC中BC邊上的中線
故BE=

1

2

BC=

3

2

點評：本題考查的知識點是面面垂直的性質(zhì)定理，線面平行的性質(zhì)定理，（1）的關鍵是證明BOD三點共線，（2）的關鍵是分析出AE是正三角形ABC的中線．