Question

【題目】如圖，某小區(qū)中央廣場由兩部分組成，一部分是邊長為的正方形，另一部分是以為直徑的半圓，其圓心為.規(guī)劃修建的條直道， ， 將廣場分割為個(gè)區(qū)域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ為綠化區(qū)域（圖中陰影部分），Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ為休閑區(qū)域，其中點(diǎn)在半圓弧上， 分別與， 相交于點(diǎn)， .（道路寬度忽略不計(jì)）

（1）若經(jīng)過圓心，求點(diǎn)到的距離；

（2）設(shè)， .

①試用表示的長度；

②當(dāng)為何值時(shí)，綠化區(qū)域面積之和最大.

Answer 1

【答案】（1）（2）①最小值為②當(dāng)時(shí)，綠化區(qū)域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面積之和最大

【解析】試題分析：（1）先建立直角坐標(biāo)系，聯(lián)立直線OB方程與圓方程解得P點(diǎn)縱坐標(biāo)，即得點(diǎn)到的距離；（2）①先求點(diǎn)到的距離為，再根據(jù)三角形相似得的長度；②根據(jù)三角形面積公式求三個(gè)三角形面積，再用總面積相減得綠化區(qū)域面積，最后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值

試題解析：以所在直線為軸，以線段的中垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系.

（1）直線的方程為，

半圓的方程為 ，

由得.

所以，點(diǎn)到的距離為.

（2）①由題意，得.

直線的方程為

，

令，得

.

直線的方程為，

令，得 .

所以， 的長度為

， .

②區(qū)域Ⅳ、Ⅵ的面積之和為

，

區(qū)域Ⅱ的面積為

，

所以 .

設(shè)，則，

.

.

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)“”成立.

所以，休閑區(qū)域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面積的最小值為.

答：當(dāng)時(shí)，綠化區(qū)域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面積之和最大.